來把題號擺在標題上好了。原本不放的原因是打算一篇可以擠好幾個，不過後來想想會能寫筆記的都應該不是三言兩語能解決的東西的。

#167 Investigating Ulam sequences (難度 75%)

所謂 Ulam sequence 是指這樣的數列：給定開頭兩個正整數 a < b，每次都找大於最後一項的整數當中，能夠唯一地表示為之前數列當中的兩項和的數中最小的那一個。題目給的例子是最簡單的 a=1, b=2 所產生的數列 (OEIS A002858)：1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, ……。因為 5 = 1+4 = 2+3 有兩種兩項和表示法，所以不在數列中；因此 6 就在數列中了 (只有 2+4 一種)。令這樣的數列第 $k$ 項記為 $U(a,b)_k$。

試求 $\sum_{n=2}^{10} U(2,2n+1)_k$，其中 $k=10^{11}$。

一般化的 Ulam sequence 其實有很多很詭異的性質，例如單就上面提的 a=1, b=2 產生的數列來說：

• 它是一個完全序列，表示任何正整數都可以表示成數個這個數列中的項的和；
• 除了開頭三項 1, 2, 3，其他任何連續三項都滿足三角不等式；
• 在數值方面它有一個很大略的規律：如果把所有正整數排成 216 個一排，點出在數列中的數，會發現它們大致地排成十條帶狀圖，帶與帶之間有個還不錯明顯的空白，也就是數值上大約有個差 21.6 左右的「週期關係」在；
• 如果只考慮數列本身的話，它也被人發現其傅立葉轉換當中有兩個異常突出的頻率：對這數列的前十億項，存在一個數 $\theta\approx2.5714474995$，使得這十億項當中除了四個都滿足 $\cos(\theta a_n)<0$。

等等。不過這些都無助於我們求出第 10¹¹ 項－－這個項數實在是太後面了，漸近性質沒辦法精準點到特定的某一項來。

Continue reading “Project Euler 解題筆記 (3) – #167”

#152 Writing 1/2 as a sum of inverse squares (難度 65%)

這題躺在我的未解題裡躺很久了：有一陣子我在嘗試從頭開始答題，寫一寫就撞上這題這個軟牆，所以就開始往後亂跳題目 XD 也就是說，除了在約三四百題那附近時有比較集中在一出題就去解之外，其他的解題進度都是這樣散散的，看到有點難的題目就給它拼命跳，所以這題才留著這麼久。

題目很簡單：就如同標題說的，把 1/2 寫成不同整數平方的倒數和。題目敘述給了一個範例：

$$\begin{align}\dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1}{5^2} +\\ &\quad \dfrac{1}{7^2} + \dfrac{1}{12^2} + \dfrac{1}{15^2} + \dfrac{1}{20^2} +\\ &\quad \dfrac{1}{28^2} + \dfrac{1}{35^2}\end{align}$$

並且給出如果只考慮 2 到 45 的平方倒數的話，連同這個範例一共只有三組解。題目要問的是：如果放大範圍到 2 到 80 的話有幾組解？

之所以是軟牆是因為，2 到 80 這個範圍很微妙的稍微大了一點；這個題目本質上是一個子集和問題，要我們在給定的 79 個元素中選出數個來加到目標 1/2；由於子集和問題是著名的 NP-Complete 問題，所需要的工作量不會比把 79 個數個別選不選所得到的 $2^{79}$ 種選項逐一嘗試來得好多少。

Continue reading “Project Euler 解題筆記 (2)”

既然要來記解題筆記就來順便記一下時不時會做的 Project Euler 好了。這裡的文章應該會一起排進慣例的週三更新當中，所以看到一篇筆記出來並不代表我剛解完這一題，而可能是好幾天前的事了 XD

我做 Project Euler 主要的工具是 Mathematica，因為很多數學相關的東西可以不用我自己寫；只有在一些資料結構用 MMA 不好寫或很需要效率的時候才會轉用 C++ 來寫的。我的 PE 帳號裡登記的使用語言也是 Mathematica。

另外，為了在全文章模式也作點簡單的防雷，每篇在討論的題目我會放在繼續閱讀之上，然後在前面寫一點這題可以公開的東西，例如簡評或我流翻譯等；在繼續閱讀的前一段我會放上我的 Project Euler 簽名圖，那之下就會來開始放雷了。

#168 – Number Rotations (難度 65%)

簡述這題是這樣的：
142857 這個數字，將其個位數放到最前面 (稱為其右旋轉) 得到 714285，而我們發現 714285 是 142857 的 5 倍整。試問，所有具有此種性質－－一數為其右旋轉的因數－－並且在 10 到 10¹⁰⁰ 之間的數的總和，其末五位是多少？

這題其實很久以前解過，但因為少考慮了一個東西所以 WA 了不少次，就被我放著了。最近回來重新思考才發現我少考慮的東西是什麼－－而說來有趣，題目用 142857 舉例正是讓我掉進這個陷阱的元兇 XD

Continue reading “Project Euler 解題筆記 (1)”