分類: 程式

#184 Triangles containing the origin (難度 75%)

這題題目描述起來很簡單：考慮平面上一些點的集合，這些點滿足：點的座標為整數，以及它們都在一個圓心在原點，半徑為 r 的圓的內部。考慮由這點集當中的點為頂點的三角形，計算圓心 (原點) 在其內部的三角形個數。
對 r=2，一共可以找得到 8 個原點在內部的三角形；r=3 有 360 個，而 r=5 則有 10600 個。試求 r=105 時有多少個。

看起來很簡單，但仔細想下去就會發現很多細節藏在裡面：

• 首先，點的數量很多：用圓面積估計可以得到半徑 105 的圓內整點數約有三萬四千多個，在其中選三個的選法有近七兆種；
• 三角形要包含圓心。說起來簡單，但包含這回事並不容易化成條件；
• 看起來好像有一些對稱性可以用，但這又不是大家都一樣的對稱 (有的翻轉不同，有的翻轉相同等等)，要分狀況會很麻煩；
• 等等。

先來提「包含」這件事好了；因為這題其實是個標準的計算幾何題目。所謂計算幾何，以不那麼精準的懶人包說法就是：把幾何問題座標化的解析算式用電腦程式計算的演算法。畢竟電腦要「看」一個幾何圖形只能用描述它的參數性質去看，一些只要圖畫出來對人來說很直接的判斷，電腦程式都需要進行一些運算才能判定；加上一些幾何上的簡單性質其實很容易出現無理數 (以最常見的直角三角形來說好了，畢氏定理求斜邊會有根號，而角度則就連有理數度都是少數)，若沒有特別設計的話數值精確度也會是一個問題。

在計算幾何當中要求一個點是否包在簡單多邊形當中，常用的做法有幾個：

• 繞多邊形的邊，每次都看該點是否在邊的同一側：想像沿著多邊形開車，結果繞了一圈都發現目標點都在同一邊，那就可以知道這個點在多邊形裡面了。從這個形象化也很容易知道知道這個方法只對凸多邊形有用，不過三角形一定是凸的所以對三角形也算常用。
• 從點任意發射射線，如果只和多邊形交叉奇數次那就是在裡面：這也是個在圖形上滿直觀的做法。
• 上一個方法的進階版：計算這個多邊形對所求點的卷繞數，如果不是零那就是在裡面。

等等。

單單只運用這些方式就能輕鬆寫程式檢驗題目給的三個數字，但直上 r=105 時就會卡住了。這才是這題的困難點：點集內有 \(O(r^2)\) 個點，所以選三個點組成的三角形個數有 \(O(r^6)\) 個，全部試過一遍的時間會太久。

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來把題號擺在標題上好了。原本不放的原因是打算一篇可以擠好幾個，不過後來想想會能寫筆記的都應該不是三言兩語能解決的東西的。

#167 Investigating Ulam sequences (難度 75%)

所謂 Ulam sequence 是指這樣的數列：給定開頭兩個正整數 a < b，每次都找大於最後一項的整數當中，能夠唯一地表示為之前數列當中的兩項和的數中最小的那一個。題目給的例子是最簡單的 a=1, b=2 所產生的數列 (OEIS A002858)：1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, ……。因為 5 = 1+4 = 2+3 有兩種兩項和表示法，所以不在數列中；因此 6 就在數列中了 (只有 2+4 一種)。令這樣的數列第 \(k\) 項記為 \(U(a,b)_k\)。

試求 \(\sum_{n=2}^{10} U(2,2n+1)_k\)，其中 \(k=10^{11}\)。

一般化的 Ulam sequence 其實有很多很詭異的性質，例如單就上面提的 a=1, b=2 產生的數列來說：

• 它是一個完全序列，表示任何正整數都可以表示成數個這個數列中的項的和；
• 除了開頭三項 1, 2, 3，其他任何連續三項都滿足三角不等式；
• 在數值方面它有一個很大略的規律：如果把所有正整數排成 216 個一排，點出在數列中的數，會發現它們大致地排成十條帶狀圖，帶與帶之間有個還不錯明顯的空白，也就是數值上大約有個差 21.6 左右的「週期關係」在；
• 如果只考慮數列本身的話，它也被人發現其傅立葉轉換當中有兩個異常突出的頻率：對這數列的前十億項，存在一個數 \(\theta\approx2.5714474995\)，使得這十億項當中除了四個都滿足 \(\cos(\theta a_n)<0\)。

等等。不過這些都無助於我們求出第 10¹¹ 項－－這個項數實在是太後面了，漸近性質沒辦法精準點到特定的某一項來。

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